The lower tail of triangle counts in sparse random graphs
Dong Huang, Shuangping Li · arXiv: 2610.32879v1 · Page du résumé
Pourquoi en parler cette semaine ?
Quand un réseau manque de triangles
Dans un graphe aléatoire, les triangles représentent la forme la plus simple de regroupement local. Que devient le réseau lorsqu’on lui impose d’en contenir beaucoup moins que prévu ? Pour un régime de graphes clairsemés précisé dans le résumé, ce preprint résout entièrement le problème variationnel qui gouverne à la fois la rareté de cet événement et la structure typique du graphe conditionné.
Les solutions optimales ont seulement deux formes : soit les connexions restent homogènes, soit le réseau se partage en deux groupes de même taille, avec des probabilités de connexion dépendant des groupes. Le passage entre ces régimes est une transition de phase du premier ordre. La démonstration passe par les graphons, des représentations continues des grands réseaux. Elle explique ainsi comment une contrainte sur une statistique locale peut réorganiser toute une structure aléatoire, plutôt que simplement raréfier ses arêtes de façon uniforme.
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