Controllability of polynomial systems is undecidable and not recursively enumerable
Jun Liu, Ivan O. Shevchenko · arXiv: 2610.26832v1 · Page du résumé
Pourquoi en parler cette semaine ?
Contrôler un système ne se laisse pas toujours décider
Peut-on conduire un système dynamique de n’importe quel état à n’importe quel autre en choisissant ses commandes ? Pour les systèmes dont les équations sont polynomiales à coefficients rationnels, ce preprint démontre qu’aucun algorithme général ne peut répondre correctement dans tous les cas. Plus surprenant : on ne peut même pas concevoir une procédure qui finirait par reconnaître tous les systèmes contrôlables, quitte à attendre indéfiniment pour les autres. Le résultat confirme ainsi une partie de la conjecture de Sontag et en réfute une autre.
La preuve construit une passerelle explicite entre contrôlabilité et stabilité : au champ de vecteurs initial, les auteurs associent un système commandé qui est globalement contrôlable exactement lorsque l’origine du système initial n’est pas globalement asymptotiquement stable. Une impossibilité algorithmique déjà établie pour la stabilité se transmet alors au contrôle. Cela n’empêche pas de résoudre des cas particuliers, mais impose une limite fondamentale aux logiciels qui prétendraient certifier automatiquement tout système polynomial.
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