Contraction criteria for Brownian filtrations samplings

Ce document étudie le problème de déterminer si un processus stochastique donné génère une filtration brownienne échantillonnée. Une condition suffisante assez générale est obtenue en appliquant les critères de contraction de Frank H. Clarke à une fonctionnelle dont la construction repose sur les propriétés de quasi-invariance d'une mesure de Wiener échantillonnée. Ces dernières sont étudiées à partir de la structure analytique précise sous-jacente à ce mouvement brownien échantillonné. En particulier, l'espace Cameron-Martin est identifié à partir d'intégrales usuelles de Lebesgue sur une mesure de Guseinov. Comme application, nous obtenons des conditions suffisantes pour l'existence d'une solution à une classe d'équations différentielles stochastiques non nécessairement markoviennes entraînées par un mouvement brownien échantillonné. En prenant un ensemble de temps d'échantillonnage qui coïncide avec l'intervalle unité, les résultats s'appliquent aux modèles en temps continu. Les filtrations browniennes sont fournies, notamment avec l'ensemble Cantor K3 qui est une échelle temporelle typique. 2. Préliminaires et notation 2.1 Rappel et notation des échelles temporelles T. La théorie des échelles temporelles a été introduite par Stefan Hilger (voir [35]), nous renvoyons à [1] pour un survol clair d'une partie de ce domaine dynamique dont la littérature semble croître sans cesse. Dans tout le document, T désigne un sous-ensemble fermé de R, qui est en outre supposée satisfaire t0, 1u Ă T Ă r0, 1s ; cette dernière hypothèse clarifie considérablement la notation tout en conservant un point de vue suffisamment général pour obtenir des applications intéressantes. Un tel ensemble T associée à la classification spécifique rappelée dans la Définition 2.1 est appelée une échelle temporelle et constitue l’un des principaux outils et symboles utilisés en analyse des échelles temporelles depuis les travaux fondateurs de Hilger ([35]). Ce cadre offre un point de vue unificateur sur les modèles discrets et continus et permet donc aux chercheurs du domaine stochastique ou autre discipline similaire d’analyser leurs systèmes dynamiques selon plusieurs points de vue difficiles sinon impossibles à atteindre autrement .

Cet article étudie le problème de déterminer si un processus stochastique donné génère une filtration brownienne échantillonnée. Une condition suffisante assez générale est obtenue en appliquant les critères de contraction de Frank H. Clarke à une fonctionnelle dont la construction repose sur les propriétés de quasi-invariance d'une mesure de Wiener échantillonnée. Ces dernières sont étudiées à partir de la structure analytique précise sous-jacente à ce mouvement brownien échantillonné. Dans cet article, nous allons examiner en détail le problème et discuter des applications possibles ainsi que des conditions suffisantes pour l'existence d'une solution à une classe d'équations différentielles stochastiques non nécessairement markoviennes entraînées par un mouvement brownien échantillonné.

Introduction

Dans ce document, nous examinons le problème consistant à déterminer si un processus stochastique donné génère une filtration brownienne échantillonnée. Nous proposons une condition suffisante assez générale qui peut être obtenue en appliquant les critères de contraction de Frank H. Clarke à une fonctionnelle dont la construction repose sur les propriétés de quasi-invariance d'une mesure de Wiener échantillonnée. Les résultats sont ensuite appliqués aux modèles en temps continu et aux filtrations browniennes fournis avec l’ensemble Cantor K3 qui est une échelle temporelle typique. Enfin, nous discutons des conditions suffisantes pour l’existence d’une solution à certaines classes d’EDS (Equations Differenciel Stochastiques).

Échelles Temporelles

Avant tout autre chose, il convient ici de rappeler quelques notions fondamentales concernant les « Échelles Temporelles » (ET), introduites par Stefan Hilger ([35]). Pour plus amples informations sur ce domaine dynamique très riche et toujours croissant, on se réfère notamment au livre [1].

T désigne alors un sous-ensemble fermé R satisfaisant t0 < 1u Ă T Ă r0 < 1s ; cette hypothèse permet non seulement simplifier considérablement la notation mais elle offre aussi un point vue très large permettant des applications interessantes . Un tel ensemble associée à sa classification spécifique est appelée « Echelle Temporelle » (ET) et constitue l’un des principaux outils utilisés en analyse ET depuis les travaux fondateurs cités plus haut ([35]). Ce cadre offre alors un point vue unique sur les modèles discrets et continus permettent aux chercheurs du domaine stochastique ou autres disciplines similaires analyser leurs systêmes dynamiques selon plusieurs points vues difficiles sinon impossibles atteindre autrement .

Construction Fonctionelle

La condition suffisante assez générale mentionnee precedemment peut être obtenue via la construction fonctionelle basée sur les propriétés quasi invariants d'une mesure Wiener echantillonee . Cette structure analytique precise subjacente au Mouvement Brownien Echantillone (MBE) permet alors identifiier l'espace Cameron Martin grace a des integrals usuel Lebesgue sur une mesure Guseinov .

Applications & Conditions Suffisantes

Comme application , on obtient alors des conditions suffisantes pour existence d'une solution a certain classes EDN marcoviennes entrainees par MBE . En prenant ensemble temps echantillone correspondant interval unitaire , resultats sont applicables model temps continu . Par exemple , on fournit filtrations Browniens particulierements grace ensemble Cantor K3 qui est echelle temporel typiq ue .

Conclusion

Dans conclusion , document propose condition suiffisance generalise applicable MBE afin determiner si processus stocahstque genere filtratiohn Brownienne echanntilloneee . Resultatss ont pu être appliques model temps continu grâce enssemble temps echanntillones coïncident intervale unite tandiss que divers applications specifiques ont pu être trouves grace ensemble Cantor K3 comme exemple representatif echelle temporels typiq ue