# Perturbations of Cauchy differences

**Authors:** Eszter Gselmann, Tomasz Małolepszy, Janusz Matkowski  
**arXiv:** [2603.19242](https://arxiv.org/abs/2603.19242)  
**Date:** 2026-02-16  
**Summary page:** https://www.summarizepaper.com/fr/paper/2603.19242v1/

## Key points

- Le manuscrit explore la question des différences de Cauchy réelles exprimées comme des fonctions biadditives
- Quatre types de différences de Cauchy sont examinés : exponentielle, additive, logarithmique et multiplicative
- Amélioration des résultats antérieurs pour la différence de Cauchy exponentielle sans hypothèses de différentiabilité
- Fourniture de formules explicites pour les solutions des différences de Cauchy additives impliquant des fonctions additives et termes quadratiques en α(x)
- Preuve qu'aucune solution n'existe pour les différences de Cauchy logarithmiques sur la droite réelle ou la demi-droite positive
- Contribution aux sujets mentionnés sous des conditions plus générales par rapport aux travaux précédents
- Considération de fonctions f : S Ñ F satisfaisant certaines équations associées avec B une fonction biadditive donnée
- Le manuscrit explore les différences de Cauchy réelles exprimées comme des fonctions biadditives.
- Quatre types de différences de Cauchy sont examinés : exponentielle, additive, logarithmique et multiplicative.
- Amélioration des résultats antérieurs pour la différence de Cauchy exponentielle sans hypothèses de différentiabilité.
- Fourniture de formules explicites pour les solutions des différences de Cauchy additives impliquant des fonctions additives et termes quadratiques en α(x).
- Preuve qu'aucune solution n'existe pour les différences de Cauchy logarithmiques sur la droite réelle ou la demi-droite positive.
- Contribution aux sujets mentionnés sous des conditions plus générales par rapport aux travaux précédents.
- Considération de fonctions f : S Ñ F satisfaisant certaines équations associées avec B une fonction biadditive donnée.

## Summary

Le récent manuscrit [7] explore la question de savoir quand les différences de Cauchy réelles peuvent être exprimées comme des fonctions biadditives, c'est-à-dire comme des produits de deux fonctions additives à une seule variable. Le document examine quatre types de différences de Cauchy : exponentielle, additive, logarithmique et multiplicative, et étudie les conditions dans lesquelles de telles représentations existent. Pour la différence de Cauchy exponentielle, les auteurs améliorent des résultats antérieurs en supprimant les hypothèses de différentiabilité. Dans le cas des différences de Cauchy additives, ils fournissent des formules explicites pour les solutions, qui impliquent des fonctions additives et des termes quadratiques en α(x). Pour les différences de Cauchy logarithmiques, le document prouve qu'aucune solution n'existe ni sur la droite réelle ni sur la demi-droite positive. Dans ce papier, nous visons à contribuer aux sujets mentionnés ci-dessus sous des conditions plus générales par rapport aux travaux précédents. Dans les résultats présentés dans le deuxième chapitre, le domaine de définition est un groupe, dans certains cas un demi-groupe, tandis que l'ensemble d'arrivée est un champ, dans certains cas le champ des nombres complexes ou le champ des nombres réels. Nous commençons par considérer des fonctions f : S Ñ F qui satisfont

\[ f(x + y) - f(x) - f(y) = B(x,y) \]

pour tous x,y P S, où B : S ˆ S Ñ F est une fonction biadditive donnée, ainsi que les équations associées

\[ f(x + y) - f(x) - f(y) = αxy \]
\[ f(x + y) - f(x) - f(y) = α(x)y \]

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